Ensembles finis Exemples

$z^{2} + 6 z > - 8$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$z^{2} + 6 z = - 8$

Étape 2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$z^{2} + 6 z + 8 = 0$

Étape 3

Factorisez $z^{2} + 6 z + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $6$ .

$2, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(z + 2) (z + 4) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z + 2 = 0$

$z + 4 = 0$

Étape 5

Définissez $z + 2$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 5.1

Définissez $z + 2$ égal à $0$ .

$z + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 2$

Étape 6

Définissez $z + 4$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 6.1

Définissez $z + 4$ égal à $0$ .

$z + 4 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 4$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z + 2) (z + 4) = 0$ vraie.

$z = - 2, - 4$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$z < - 4$

$- 4 < z < - 2$

$z > - 2$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $z < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = - 6$

Étape 9.1.2

Remplacez $z$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} + 6 (- 6) > - 8$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < z < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < z < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = - 3$

Étape 9.2.2

Remplacez $z$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{2} + 6 (- 3) > - 8$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $- 9$ n’est pas supérieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $z > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $z > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$z = 0$

Étape 9.3.2

Remplacez $z$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 6 (0) > - 8$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$z < - 4$ Vrai

$- 4 < z < - 2$ Faux

$z > - 2$ Vrai

$z < - 4$ Vrai

$- 4 < z < - 2$ Faux

$z > - 2$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$z < - 4$ ou $z > - 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$z < - 4 or z > - 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 2, \infty)$

Étape 12